Class 12th maths notes chapter 3 Matrix Ex 3.3

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 3 Matrix (आव्यूह) Ex 3.3 

यहाँ पर 12वीं गणित अध्याय 3 आव्यूह का अभ्यास 3.3 का हल प्रस्तुत कर रहे हैं। जो कि आगे आने वाली अभ्यासों का आधार बनायेगा। आइये शुरू करते हैं।

प्रश्न 1.
निम्नलिखित आव्यूहों में से प्रत्येक का परिवर्त ज्ञात कीजिए-

प्रश्न 2.
यदि A = (left[begin{array}{ccc}{-1} & {2} & {3} \ {5} & {7} & {9} \ {2} & {1} & {1}end{array}right]) तथा B = (left[begin{array}{ccc}{-4} & {1} & {-5} \ {1} & {2} & {0} \ {1} & {3} & {1}end{array}right]) हैं तो सत्यापित कीजिए कि-

(i) (A + B)’ = A’ + B’
(ii) (A – B) = A’ – B’
        उत्तर 2:
यहाँ A = (left[begin{array}{ccc}{-1} & {2} & {3} \ {5} & {7} & {9} \ {2} & {1} & {1}end{array}right]), B = (left[begin{array}{ccc}{-4} & {1} & {-5} \ {1} & {2} & {0} \ {1} & {3} & {1}end{array}right])

प्रश्न 3.
यदि A = (left[begin{array}{rr}{3} & {4} \ {-1} & {2} \ {0} & {1}end{array}right]) तथा B = (left[begin{array}{rrr}{-1} & {2} & {1} \ {1} & {2} & {3}end{array}right]) हैं तो सत्यापित कीजिए कि-
(i) (A + B)’ = A’ + B’
(ii) (A – B)’ = A’ – B’

      उत्तर 3:

प्रश्न 4.
यदि A’ = (left[begin{array}{rr}{-2} & {3} \ {1} & {2}end{array}right]) तथा B = (left[begin{array}{rr}{-1} & {0} \ {1} & {2}end{array}right]) हैं तो (A + 2B)’ ज्ञात कीजिए।
       उत्तर 4:

प्रश्न 5.
A तथा B आव्यूहों के लिए सत्यापित कीजिए कि (AB)’ = B’A’, जहाँ

प्रश्न 6.

(i) यदि A = (left[begin{array}{cc}{cos alpha} & {sin alpha} \ {-sin alpha} & {cos alpha}end{array}right]) हो तो सत्यापित कीजिए कि A’A = I
(ii) यदि B = (left[begin{array}{cc}{sin alpha} & {cos alpha} \ {-cos alpha} & {sin alpha}end{array}right]) हो तो सत्यापित कीजिए कि A’A = I
      उत्तर 6:

प्रश्न 7.
(i) सिद्ध कीजिए कि आव्यूह A = (left[begin{array}{ccc}{mathbf{1}} & {-mathbf{1}} & {mathbf{5}} \ {-mathbf{1}} & {mathbf{2}} & {mathbf{1}} \ {mathbf{5}} & {mathbf{1}} & {mathbf{3}}end{array}right]) एक सममित आव्यूह है।
(ii) सिद्ध कीजिए कि आव्यूह A = (left[begin{array}{ccc}{mathbf{0}} & {mathbf{1}} & {-mathbf{1}} \ {-mathbf{1}} & {mathbf{0}} & {mathbf{1}} \ {mathbf{1}} & {-mathbf{1}} & {mathbf{0}}end{array}right]) एक विषम सममित आव्यूह है।
      उत्तर 7:

अतः आव्यूह A एक विषम सममित आव्यूह है।

प्रश्न 8.
आव्यूह A = (left[begin{array}{ll}{1} & {5} \ {6} & {7}end{array}right]) के लिए सत्यापित कीजिए कि –
(i) (A + A’) एक समित आव्यूह है।
(ii) (A – A’) एक विषम सममित आव्यूह है।
      उत्तर 8:

अतः (A – A’) एक विषम सममित आव्यूह है।

प्रश्न 9.
यदि A = (left[begin{array}{ccc}{mathbf{0}} & {boldsymbol{a}} & {boldsymbol{b}} \ {-boldsymbol{a}} & {boldsymbol{0}} & {boldsymbol{c}} \ {-boldsymbol{b}} & {-boldsymbol{c}} & {boldsymbol{0}}end{array}right]) तो (frac{1}{2})(A + A’) तथा (frac{1}{2})(A – A’) ज्ञात कीजिए।
       उत्तर 9:

प्रश्न 10.
निम्नलिखित आव्यूहों को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए-

प्रश्न संख्या 11 तथा 12 में सही उत्तर चुनिए-

प्रश्न 11.
यदि A तथा B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं तो AB – BA एक
(A) विषम सममित आव्यूह है
(B) सममित आव्यूह है
(C) शून्य आव्यूह है
(D) तत्समक आव्यूह है
      उत्तर 11:
A और B समान कोटि की सममित आव्यूह है।
∴ A = A, B’ = B
(AB – BA)’ = (AB)’ – (BA) = BA’ – A’B’
= BA – AB [∵ B’ = B, A’ = A]
= -(AB – BA)
⇒ AB – BA विषम सममित आव्यूह है।
अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 12.
यदि A = (left[begin{array}{cc}{cos alpha} & {-sin alpha} \ {sin alpha} & {cos alpha}end{array}right]) तथा A’ + A = I, तो α का मान है-
(A) (frac{pi}{6})
(B) (frac{pi}{3})
(C) π
(D) (frac{3 pi}{2})

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