Class 12th maths notes chapter 3 Matrix Ex 3.2

किसी व्यापार संघ के पास 30000 रुपयों का कोष है, जिसे दो भिन्न-भिन्न प्रकार के बांडों में निवेशित करना है। प्रथम बांड पर 5%वार्षिक तथा द्वितीय बांड पर 7% वार्षिक ब्याज प्राप्त होता है। आव्यूह गुणन के प्रयोग द्वारा यह निर्धारित कीजिए कि 30000 रुपयों के कोष को दो प्रकार के बांडों में निवेश करने के लिए किस प्रकार बांटें जिससे व्यापार संघको प्राप्त कुल वार्षिक ब्याज

(i) Rs. 1800 हो।
(ii) Rs. 2000 हो।

       उत्तर:
माना 30,000 रुपये के दो भाग क्रमश: x तथा (30000 – x) है।
माना इन्हें 1 × 2 की कोटि वाली आव्यूह A में प्रदर्शित किया मया है, तब
A =[x (30,000 – x)]
प्रथम बांड व द्वितीय बांड पर क्रमश: 5% व 7% वार्षिक है
माना इन्हें 2 × 1 की कोटि की आव्यूह R से प्रदर्शित किया गया है
∴ R = [5/1007/100]=[0.050.07]
(i) ∴ AR = 1800
∴ [x 30,000 – x][0.050.07] = [1,800]
⇒ [0.05x + (30,000 – x) 0.07] = [1,800]
⇒ 0.05x + (30,000 – x) × 0.07 = 1,800
⇒ 0.05x + 2,100 – 0.07x = 1,800
⇒ -0.02x = -300
⇒ x = 3000.02 = 15,000
अतः प्रथम बांड में जमा धनराशि = 15,000
तथा दूसरे बांड में जमा धनराशि = 30,000 – 15,000
= 15,000 रु०

(ii) पुन: AR = 2,000
[x (30,000 – x] [0.050.07] = [2,000]
⇒ 0.05x + (30,000 – x) × 0.07 = 2000
⇒ 0.05x + 2,100 – 0.07x = 2000
⇒ 0.02x = -100
⇒ x = 5,000
अतः प्रथम बांड में निवेश धनराशि =5,000 रु०
तथा दूसरे बांड में निवेश धनराशि = 25,000 रु०

किसी स्कूल की पुस्तकों की दुकान में 10 दर्जन रसायन विज्ञान, 8 दर्जन भौतिक विज्ञान तथा 10 दर्जन अर्थशास्त्र की पुस्तकें हैं। इन पुस्तकों का विक्रय मूल्य क्रमशः Rs. 80, Rs. 60 तथा Rs. 40 प्रति पुस्तक है। आव्यूह बीजगणित प्रयोग द्वारा ज्ञात कीजिए कि सभी पुस्तकों को बेचने से दुकान को कुल कितनी धनराशि प्राप्त होगी?

       उत्तर:
विद्यालय में पुस्तकों की संख्या निम्न प्रकार है-
रसायन विज्ञान – 10 दर्जन- = 120 पुस्तकें
भौतिक विज्ञान – 8 दर्जन = 96 पुस्तकें
अर्थशास्त्र – 10 दर्जन = 120 पुस्तकें
ड्डसे आव्यूह A = [120 96 120] से व्यक्त करते हैं।
रसायन विज्ञान, भौतिक विज्ञान तथा अर्थशास्त्र की प्रत्येक पुस्तक का विक्रय मूल्य क्रमशः 80 रु०,60 रु० तथा 40 रु० है।
इसे आव्यूह R = ⎡⎣⎢806040⎤⎦⎥ से व्यक्त करते हैं।
∴ प्राप्त राशि, AR = [120 96 120] ⎡⎣⎢806040⎤⎦⎥
= 120 × 80 + 96 × 60 + 120 × 40
= [9600 + 5760 + 4800] = [20160]
अतःकुल प्राप्त राशि = 20160 रु०
मान लीजिए कि X, Y, z,W तथा P क्रमशः 2 × n, 3 × k, 2 × p, n × 3 तथा px k कोटियों के आव्यूह हैं।

नीचे दिए प्रश्न संख्या 21 तथा 22 में सही उत्तर चुनिए।
प्रश्न 21..

PY + WY के परिभाषित होने के लिए n, k तथा p पर क्या प्रतिबन्ध होगा?

(A) k = 3, p = n
(B) k स्वेच्छ है, p = 2
(C) p स्वेच्छ है, k = 3
(D) k = 2, p = 3

       उत्तर:
दिया है : आव्यूह : X Y ZWP
कोटियाँ : 2 × n, 3 × k, 2 × p, n × 3, p × k
∴ P की कोटि = p × k, Y की कोटि = 3 × k
∴ PY संभव है यदि k = 3
PY की कोटि = p × k = p × 3
W और Y की कोटियाँ क्रमश: n × 3 और 3 × k = 3 × 3
WY की कोटि =n × 3
PY व WY का योग तभी संभव है जब यह दोनों एक ही कोटि के हों तो
p × 3 = n × 3 = P × n
∴ PY + WY परिभाषित हैं यदि p = n और k = 3
अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 22.

यदि n = p, तो आव्यूह 7X – 5Z की कोटि है

(A) p × 2
(B) 2 × n
(C) n × 3
(D) p × n

       उत्तर:
आव्यूह x तथा Z की कोटियाँ 2 × n और 2 × p हैं।
आव्यूह 7X – 5Z परिभाषित है यदि x तथा Z एक ही कोटि के हों, क्योंकि p = n दोनों की कोटि 2 × n है।
अतः विकल्प (B) सही है।

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